Квадратні рівняння

Повне квадратне рівняння

Повним називається таке квадратне рівняння, у якому жодний з коефіцієнтів $a, b, c \!$ не дорівнює нулю.

Дискримінант

Повні квадратні рівняння розв'язуються за допомогою дискриміна́нта (лат. diskriminans — розрізняючий), який позначається латинською літерою $D \!$ .

Помноживши обидві частини рівняння $ax^2 + bx + c = 0 \!$ на $4a \!$ , дістанемо:

$4a^2x^2 + 4axb + 4ac = 0 \!$ ,

$(2ax)^2 + 4axb + b^2 - b^2 + 4ac = 0 \!$

і далі за формулою скороченого множення отримаємо

$(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac \!$ .

Права частина цього виразу і є дискримінантом:

$D = b^2 - 4ac \!$

Розв'язування повних квадратних рівнянь

Якщо $D > 0\!$ , то квадратне рівняння рівносильне рівнянню $(2ax + b)^2 = \left(\sqrt D \right)^2$ , звідки

$2ax + b = \sqrt D,\qquad x=\frac{-b + \sqrt D}{2a},$

або

$2ax + b = -\sqrt D,\qquad x=\frac{-b - \sqrt D}{2a}.$

У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються лише знаком перед $\sqrt D \!$ . Коротко ці корені записують так:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}$ , де $D = b^2 - 4ac \qquad (1). \!$

Якщо $D = 0 \!$ , то $2ax + b = 0 \!$ , звідки $x = -\frac{b}{2a}$ — єдиний корінь (правильніше - два однакові корені)

У випадку, якщо дискримінант менший за нуль, то дане рівняння не має дійсних коренів. Але при цьому є можливість знайти два комплексних корені за формулою (1) або, скориставшись наступною формулою, щоб не добувати корінь з від'ємного числа:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm i \cdot \sqrt{-b^2 + 4ac}}{2a}.$

Якщо коефіцієнти в рівнянні мають великі числові значення для уникнення довгих розрахунків можна скористатися формулою:

$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a},$ де : $k = \frac{b}{2}.$

Поиск по этому блогу

Квадратні рівняння

Повне квадратне рівняння

Дискримінант

Розв'язування повних квадратних рівнянь

Комментарии

Отправить комментарий

Популярные сообщения из этого блога